Пусть число x+1/x - целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка [-2014; 2014] число x^k+1/x^k тоже является целым?

Если х=1, то для любого К получаем целое число, т. е. 2014*2+1 значений К явлются решениями.

Если х≠1, запишем условие х+1/х=n (n-целое),

тогда для любого х = (n + (n²-4) ⁰⁵) / 2 величина х+1/х целое число (n). Среди этого множества х найдутся такие, для которых

х^k + 1/х^k не является целым при любом к≠0. Однако при к=0 любое из этих значений - целое (х+1/х=2).

таким образом, наименьшее количество целых чисел k это 2 (к=0, k=1).