В классе 20 учащихся. Назовём "расстоянием" между двумя учащимися количе - ство дней между их датами рождения. 1) Может ли среди всех попарных "расстояний" между семью учащимися встре - титься одно и то же число ровно 10 раз? 2) Может ли среди всех попарных "расстояний" между десятью учащимися встретиться одно и то же число ровно 10 раз, если известно, что в классе нет совпадающих дат рождения? 3

1) Может, например, пусть у 5 учащихся день рождения в один и тот же день А, у шестого в (А+а) день, у седьмого в (А-а) день⇒имеем ровно 10 равных "расстояний", где a∈N, 0< a< 366/2=183, a≠122, т. к. для високосного года (366 дней) при а=122 будет "расстояние" между шестым и седьмым одиннадцатым, равным а. Существуют и другие расстановки.

2) Если нет совпадающих дат рождения, то год должен быть разбит на 10 равных отрезков - "расстояний" (1,2), (2,3) ... (9,10), (10,1), но ни 365, ни 366 не кратно 10⇒ Нет, не может