На доске написаны 10 различных чисел. Вася подчеркнул каждое число, которое равно произведению всех остальных девяти чисел

Вообще-то надо бы указать, какие числа записаны, натуральные, или может быть любые действительные.

Если речь идет о положительных, то подчеркнуто может быть только одно.

Пусть подчеркнуты как минимум два разных числа а и b. Обозначим буквой P произведение всех остальных чисел. Тогда

a=b*P

b=a*P,

т. е. a/b=b/a, т. е. a^2=b^2, а т. к. числа положительные, то a=b, а по условию они различные. Противоречие.