Последовательность цифр устроена следующим образом. Две первые цифры

a и b заданы заранее и не равны нулю. Справа к ним приписываются цифры

произведения ab. Затем справа приписываются цифры числа, полученного

произведением последних двух цифр, и так далее. Например, если первые две

цифры были a = 6 и b = 7, то получается последовательность

6, 7, 4, 2, 8, 1, 6, ...

а) Приведите пример такой последовательности, в которой восемь первых

членов отличны от нуля, а все члены начиная с девятого равны нулю.

б) Докажите, что любая последовательность, построенная таким образом,

с какого-то момента становится периодической (цифры начинают

повторяться в одном и том же порядке).

Question

Математика

Лука

25 декабря, 07:31

Последовательность цифр устроена следующим образом. Две первые цифры

a и b заданы заранее и не равны нулю. Справа к ним приписываются цифры

произведения ab. Затем справа приписываются цифры числа, полученного

произведением последних двух цифр, и так далее. Например, если первые две

цифры были a = 6 и b = 7, то получается последовательность

6, 7, 4, 2, 8, 1, 6, ...

а) Приведите пример такой последовательности, в которой восемь первых

членов отличны от нуля, а все члены начиная с девятого равны нулю.

б) Докажите, что любая последовательность, построенная таким образом,

с какого-то момента становится периодической (цифры начинают

повторяться в одном и том же порядке).

+4

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Еремей · Answer 1

А) Например,

3 - 5 - 1 - 5 - 5 - 2 - 5 - 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - ...

(3 * 5 = 15, 1 * 5 = 5, 5 * 5 = 25, 2 * 5 = 10, 1 * 0 = 0 ...)

б) Произведения двух цифр точно не превышают 99, так что различных произведений точно не больше 100, а пар произведений не более 10000. Рассмотрим первые 20002 произведения, разобьём их на 10001 пару. По принципу Дирихле две пары с какими-то номерами i < j ≤ 10001 совпадут, тогда, поскольку пара произведений однозначно определяет все дальнейшие произведения, то последовательность пар произведений, начиная с i, будет периодична с периодом j - i, а значит, и последовательность цифр также будет периодична