Представьте многочлен x^4 + 3x^2 + 4 в виде произведения двух многочленов степени меньше 4 с целыми коэффициентами

Если м раскладываем многочлен на скобки, то:

x^4 + 3x^2 + 4 = (x^2 + a1*x + b1) (x^2 + a2*x + b2)

Проверяем по методу неопределенных коэффициентов

(x^2 + a1*x + b1) (x^2 + a2*x + b2) = x^4 + a1*x^3 + b1*x^2 + a2*x^3 + a1*a2*x^2 + b1*a2*x + b2*x^2 + a1*b2*x + b1*b2 = x^4 + 3x^2 + 4 =

= x^4 + (a1+a2) x^3 + (b1+a1*a2+b2) x^2 + (b1*a2+a1*b2) x + b1*b2

Составляем систему по коэффициентам

{ x^4: 1 = 1

{ x^3: a1+a2 = 0

{ x^2: b1+a1*a2+b2 = 3

{ x : b1*a2+a1*b2 = 0

{ 1 : b1*b2 = 4

Решаем эту систему

{ a2 = - a1

{ b1 + b2 - a1^2 = 3

{ a1 (b2 - b1) = 0

{ b1*b2 = 4

Из 3 уравнения:

1) a1 = a2 = 0, тогда b1 + b2 = 3,

b2 = 3 - b1

Подставляем в 4 уравнение

b1 * (3 - b1) = 4

b1^2 - 3b1 + 4 = 0 - это уравнение не имеет решений.

2) b1 = b2 = 2

b1 + b2 - a1^2 = 3

2 + 2 - a1^2 = 3

a1^2 = 4 - 3 = 1

a1 = - 1; a2 = 1

Или a1 = 1; a2 = - 1

(x^2 - x + 2) (x^2 + x + 2) = x^4 + 3x^2 + 4 - подходит

3) b1 = b2 = - 2

b1 + b2 - a1^2 = - 4 - a1^2 = 3

a1^2 = - 7 - решений нет.

Ответ: (x^2 - x + 2) (x^2 + x + 2)