Сообщение на тему:" производные высших порядков их применение"

Пусть - некоторая дифференцируемая функция, производная от которой также является дифференцируемой функцией. Производная функции обозначается символическим выражением и называется второй производной (или производной второго порядка) функции: Запись видапозволяет указать в явной форме переменную, по которой выполняется дифференцирование функции. Однако такое обозначение является достаточно громоздким и поэтому обычно используется его сокращенная форма: Эта формула читается как "игрек два штриха равен дэ два игрек по дэ икс дважды".

Производной n-го порядка от функции называется производная от производной (n - 1) - го порядка: Верхний индекс n, заключенный в круглые скобки, указывает порядок производной. Например, пятую производную от функции y записывают в виде. Для обозначения производных до третьего порядка включительно обычно предпочитают использовать штрихи: или. Если порядок производной, то для его обозначения допускается использование римских цифр, например, Отметим также, что под производной нулевого порядка от функции понимается сама функция: Другими словами, нулевое число преобразований функции означает ее неизменность. Более весомые причины такого соглашения обсуждаются в разделе "Формула Лейбница". Если функция задана уравнениями в параметрической форме, то для вычисления ее производных высших порядков используется цепочка формул

и так далее. Пусть, например, Тогда

Для нахождения производной n-го порядка неявно заданной функции требуется последовательное вычисление всех ее производных более низкого порядка. Для примера рассмотрим уравнениеопределяющее неявно заданную функцию y (x).

Дважды дифференцируя это равенство, получим систему двух уравненийЕсли из первого уравнения выразить производную y' и подставить полученный результат во второе уравнение, то останется лишь разрешить преобразованное второе уравнение относительно y ''.