Решите на множестве C*C систему уравнений { (1+i) z1 + (1-i) z2=1+i

{ (1-i) z1 + (1+i) z2=1+3i

Обозначим z1 = a1 + b1*i; z2 = a1 + b2*i

{ (1 + i) (a1 + b1*i) + (1 - i) (a2 + b2*i) = 1 + i

{ (1 - i) (a1 + b1*i) + (1 + i) (a2 + b2*i) = 1 + 3i

Раскрываем скобки

{ a1 + a1*i + b1*i - b1 + a2 - a2*i + b2*i + b2 = 1 + i

{ a1 - a1*i + b1*i + b1 + a2 + a2*i + b2*i - b2 = 1 + 3i

Отделим действительные части от мнимых

{ (a1 - b1 + a2 + b2) + (a1 + b1 - a2 + b2) * i = 1 + i

{ (a1 + b1 + a2 - b2) + (-a1 + b1 + a2 + b2) * i = 1 + 3i

Получаем систему 4 уравнений с 4 неизвестными

{ a1 - b1 + a2 + b2 = 1

{ a1 + b1 - a2 + b2 = 1

{ a1 + b1 + a2 - b2 = 1

{ - a1 + b1 + a2 + b2 = 3

Умножаем 2 и 3 ур-ния на - 1, складываем 2, 3 и 4 ур-ния с 1 ур-нием.

{ a1 - b1 + a2 + b2 = 1

{ 0 - 2b1 + 2a2 + 0 = 0

{ 0 - 2b1 + 0 + 2b2 = 0

{ 0 + 0 + 2a2 + 2b2 = 4

Делим 2, 3 и 4 ур-ния на число 2

{ a1 - b1 + a2 + b2 = 1

{ 0 - b1 + a2 + 0 = 0

{ 0 - b1 + 0 + b2 = 0

{ 0 + 0 + a2 + b2 = 2

Умножаем 3 ур-ние на - 1, складываем со 2 ур-нием

{ a1 - b1 + a2 + b2 = 1

{ 0 - b1 + a2 + 0 = 0

{ 0 + 0 + a2 - b2 = 0

{ 0 + 0 + a2 + b2 = 2

Умножаем 4 ур-ние на - 1, складываем с 3 ур-нием

{ a1 - b1 + a2 + b2 = 1

{ 0 - b1 + a2 + 0 = 0

{ 0 + 0 + a2 - b2 = 0

{ 0 + 0 + 0 - 2b2 = - 2

Отсюда b2 = 1; a2 = b2 = 1; b1 = a2 = 1;

a1 - 1 + 1 + 1 = 1; a1 = 0

Ответ:

z1 = a1 + b1*i = i

z2 = a2 + b2*i = 1 + i