Общий наибольший делитель чисел a и b равен 1. Чему может быть равен наибольший общий делитель чисел a^2-ab+b^2 и a+b?

Как минимум взаимно простыми эти числа могут быть. Например, при а=b=1 получим a+b=2 и a²-ab+b²=1-1+1=1.

Предположим, что НОД (a+b, a²-ab+b²) = d>1.

Т. к. 3ab = (a+b) ² - (a²-ab+b²), то 3ab делится на d. Если d≠3, то в разложении числа d на простые существует простой делитель р, который делит произведение ab, а значит р делит или а или b. Если бы p делило а, то оно делило бы и b, т. к. b = (a+b) - a, но тогда а и b не были бы взаимно простыми. Значит p не делит a. Аналогично, p не делит b. Значит для d остается единственная возможность d=3. Легко видеть, что при a=2 и b=1, получим a+b=3 и a²-ab+b²=4-2+1=3. Итак, НОД (a+b, a²-ab+b²) может принимать только два значения 1 или 3.