На доске записано чисал 1,2,3 ...,99,100. Можно ли зачеркнуть несколько 10 чисел так, чтобы среди 90 чисел, которые остались, не нашлось ни одной арфиметической прогрессии из 10 чисел

На доске написаны натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100. Разрешается стереть любые два числа и записать модуль их разности, после чего количество написанных чисел уменьшается на 1. Может ли после 99 таких операций остаться записанным на доске число 1? Решение: Подсчитаем общую сумму начальных 100 чисел:

1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5050.

Эта сумма оказалась четной. Переходя к следующему набору чисел, мы фактически в этой сумме заменяли сумму двух чисел на их разность. Но сумма и разность двух целых чисел имеют одинаковую четность, поэтому общая сумма записанных чисел останется четной. Следовательно, эта сумма равной 1 быть не может.

Ответ: не может