На доске написано 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они бли одинаковыми, написать двойку, а если разными - единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка - то второй. Кто выиграет при правильной игре: первый или второй игрок? Ответ поясните.

У нас есть 10 единиц и 10 двоек.

Подумаем над тем, что будет если взять две одинаковые цифры:

Если возьмём две единицы, то их станет 8 (четное кол-во)

Если возьмём 1 и 2, то единиц будет 10-1 так как взяли, но потом 9+1, так как единица из двух разных чисел. Получаем единиц 10 (чётное кол-во)

Если возьмём две двойки, то единицы не изменятся, останется четное кол-во. А значит, что единиц всегда четное количество. Поэтому при правильной игре победит второй игрок

Заметим, что чётность суммы всех написанных на доске чисел не меняется: вместо 1,1 или 2, 2 (суммы равны 2 или 4 - чётные) пишут 2 (тоже чётное), вместо 1, 2 (сумма 3 - нечётная) пишут 1 - нечётное число.

Изначально сумма равна 10 * 1 + 10 * 2 = 30 - и она чётная. В конце должно остаться одно число, и так как чётность суммы не поменялась, то оно чётное, т. е. 2. Значит, выигрывает второй игрок, притом всегда.

Ответ. Выигрывает второй игрок.