Ln (4x-2) * sqrt (x^2-4x+4a-a^2) = 0

При каких значениях а уравнение имеет один корень на промежутке [0; 2]?

Уравнение равносильно совокупности уравнений:

4x-2=1 или x^2-4x+4a-a^2=0

уравнение определено на множестве:

x>0,5 и x^2-4x+4a-a^2>=0

На [0,2] уравнение всегда имеет корень x=0.75

Для того, чтобы этот корень был единственным нужно чтобы:

1. уравнение x^2-4x+4a-a^2>=0 не имело решений вообще (отрицательный дискриминант)

2. имело единственный корень совпадающий с 0,75

3. имело один корень совпадающий с 0,75, а второй вне отрезка [0,2]

4. имело два корня и оба вне отрезка [0,2]

Случай 1: невозможен так как D=4 (a-2) ^2 число неотрицательное

Случай 2: D=0 значит (x-2) ^2=0 откуда корень x=2 - второй корень в отрезке [0,2] следовательно a не равно 2.

Случай 3: решая уравнение x^2-4x+4a-a^2=0 находим корни

x1=a, x2=6-a, Если a=0.75 то первый корень совпадет с корнем 0,75, а второй 6-0,75=5,25 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно

Если x2=6-a=0,75, то а=6,75, следовательно первый корень x1=a=6.75 расположен вне отрезка [0,2] что нам и нужно. Следовательно оба этих значения подходят.

Случай 4: должно выполняться x12 или наоборот x1>0.5 и x2<2. Рассмотрим их отдельно.

Если x12 то a2 откуда aa получаем а<0.5

Если x1>0.5 и x20.5 и 6-a0.5 и а>4. получаем а>4

Теперь собираем все полученные значения:

a∈ (-∞,0.5) ∪{0.75}∪ (4,∞)