Сколько существует 2018-значных чисел таких, что при вычёркивании его любой одной цифры получается 2017-значное число, и это 2017-значное число является делителем исходного числа (Напомним, что многозначное число не может начинаться с нуля и что на ноль ничего не делится, кроме, быть может, нуля) ?

Пусть многозначное число равно 10A + c, c - последняя цифра. После вычёркивания последней цифры получаем A, А - делитель числа 10 А + с, тогда c делится на А. Если А > 9, то с = 0; при 1 < = c < = 9 c строго меньше A, поэтому с не может делиться на А.

Из этого получаем, что все числа, у которых есть шанс оказаться хорошими, имеют вид ab0000 ... 0, причем a, b - не нули. Вычёркивание нулей удовлетворяет условию, проверяем вычёркивание a и b.

Вычеркивание a: ab0000 ... 0 делится на a0000 ... 0, значит, 10a + b делится на a, откуда b делится на a.

Вычёркивание b: ab0000 ... 0 делится на b0000 ... 0, значит, 10a + b делится на b, откуда 10a делится на b.

b делится на a: обозначим b = ka, k - натуральное, не большее 9.

10a делится на b, значит, 10a делится на ka, k - делитель 10. Остаются варианты k = 1, 2 или 5.

k = 1: a = b, 9 вариантов (11 ... - 99 ...)

k = 2: b = 2a, 4 варианта (12 ..., 24 ..., 36 ..., 48)

k = 5: b = 5a, 1 вариант (15 ...)

Всего 9 + 4 + 1 = 14 чисел.