Будет ли отношением эквивалентности на множестве действительных чисел отношение xry, задаваемое равенством x ^2 - y^2 = 0? почему?

Равенство x ^2 - y^2 = 0 можно преобразовать так: x ^2 = y^2.

Чтобы проверить, является ли данное отношение отношением эквивалентности, надо проверить свойства: 1) рефлексивности; 2) симметричности; 3) транзитивности:

1) так как любое число из множества действительных чисел возведенное в квадрат будет равен квадрату этого же числа, то отношение обладает рефлексивностью (х^2 = x^2)

2) Если для произвольно взятых двух чисел из множества действительных чисел из выполнимости равенства x^2 = y^2, выполняется равенство y^2 = x^2. Значит выполняется симметричность.

3) Так как из того что для любых трех чисел из множества действительных чисел выполнятся x^2 = y^2, y^2 = z^2 следует что x^2 = z^2 то это означает, что выполняется транзитивность.

Из этого делаем вывод, что заданное равенством x ^2 - y^2 = 0 отношение является отношением эквивалентности.