Центр окружности, касающейся катетов прямоугольника, лежит на гипотенузе. Найдите радиус окужности, если он в 7 раз меньше суммы катетов, а площадь треугольника равна 56?

Предполагаю, что в условии имеется в виду не прямоугольник, а прямоугольный треугольник.

Пусть Х - радиус окружности

А - 1 й катет

В - 2 й катет

7 Х=А+В

Если из центра окружности опустить перпендикуляры на катеты (они будут равны радиусу окружности), то они разделят треугольник на 3 части: квадрат со сторой равной радиусу и 2 прямоугольных треугольника.

Площадь квадрата - Х в кварате

Площадь первого треугольника - одна сторона равна радису Х, вторая А-Х. Т. е. плащадь Х * (А-Х) / 2

Площадь второго треугольника - одна сторона равна радису Х, вторая В-Х. Т. е. плащадь Х * (В-Х) / 2

Составляем уравнение. Площадь всего треугольника равна:

Х в квадрате+Х (А-Х) / 2+Х (В-Х) / 2=56

раскрываем скобки, сокращаем и получается: (А+В) Х=112

А+В=7 Х, т. е. 7 Х*Х=112

Х в квадрате=16

Х равен 4.