Найти общее решение:

y''-6y'+10y=51e^-x

1) Составляем характеристическое ур-е к однородной части

('y'' - 6y'+10=0) данного уравнения^

л² - 6 л + 10 = 0

D = 36 - 40 = - 4; √D=+-2i

л1 = (6-2i) / 2=3-i; л2 = (6+2i) / 2 = 3+i (cопряжённые комплексные корни)

Общее решение: y=e^ (3x) * (C1*соsx+С2*sinx)

Частное решение ищем в виде:

yh = Ae^ (- x)

yh' = - Ae^ (-x) - первая производная

yh'' = Ae^ (-x) - вторая

Подставляем yh и полученные производные в неоднородное уравнение:

Ae^-x + 6Ae^-x + 10Ae^-x = 51e^x

17*A*e^-x = 51e^x

A=3 Частное решение: yh = 3e^-x

Общее решение: у = e^ (3x) (C1*cosx + C2*sinx) + 3e^-x