Даны сто различных действительных чисел. Известно, что наименьшее из них равно 0,08, а наибольшее 40, причём среди всех возможных попарных сумм этих чисел ровно 197 различных. Найдите сумму этих чисел.

Пронумеруем числа в порядке возрастания:

0,08 = x1 < x2 < x3 < ... < x100 = 40.

Введем удобное обозначение x (100 + i) = x (i + 1) + (x100 - x1)

Заметим, что эти 197 сумм не могут быть равны:

x1 + x2 < x1 + x3 < x1 + x4 < ... < x1 + x99 < x1 + x100 < x2 + x100 < x3 + x100 < ... < x99 + x100 (суммы начиная с x2 + x100 можно записать в виде x1 + x101, x1 + x102, ..., x1 + x198)

Так как всего должно получиться 197 неравных сумм, то других значений сумм нет, все остальные суммы выражаются через написанные выше.

Рассмотрим 97 сумм:

(x1 + x3 <) x2 + x3 < x2 + x4 < x2 + x5 < ... < x2 + x99 (< x2 + x100)

Так как каждая сумма равна какой-то из уже выписанных выше сумм, а также из того, между x1 + x3 и x2 + x100 есть только 97 сумм, получаем серию равенств:

x2 + x3 = x1 + x4

x2 + x4 = x1 + x5

...

x2 + x99 = x1 + x100

Продолжаем разбираться с суммами вида ai + aj, 3 < = i < j < = 99 при фиксированном i. Пусть с предыдущего шага известно, что a (i - 1) + a (i + 1) = 1 + a (2i - 1). Рассмотрим все суммы указанного вида. Они все не равны, расположены между x1 + x (2i - 1) и xi + x100 = x1 + x (99 + i). Между этими значеними есть как раз (99 - i) разрешённых значений для сумм, так что можно записать, что

xi + x (i + 1) = x1 + x (2i)

xi + x (i + 2) = x1 + x (2i + 1) (< - это, кстати, показывает, что равенство a (i - 1) + a (i + 1) = 1 + a (2i - 1) будет верно и для следующего i)

...

xi + x99 = x1 + x (98 + i)

Проделав это, получаем, что

x1 + x (t - 1) = xi + x (t - i)

Осталось заметить, что

x1 + x100 = x2 + x99 = x3 + x98 = ... = x50 + x51

(x1 + x100) + (x2 + x99) + ... + (x50 + x51) = 50 * (x1 + x100)

В левой части стоит сумма всех чисел, а в правой - число 50 * (0.08 + 40) = 2004.

Ответ. 2004.