Из 26 последовательных нечётных чисел 1,3,5 ..., 51 выбрали 9 различных и записали их в порядке возрастания. Пусть А - пятое по величине, а В - среднее арифметическое этих девяти чисел.

а) Может ли В-А равняться 5/9

б) Может ли В-А равняться 4/9

в) Найдите наибольшее возсожное В-А

В) Обозначим сумму выбранных чисел без A за S, тогда среднее арифметическое равно (S + A) / 9. Требуется, чтобы разность (S + A) / 9 - A = (S - 8A) / 9 была максимальной. Для этого S (при уже выбранном A) должно быть побольше.

Для увеличения S числа с шестого по девятое надо выбирать максимальными, т. е. 45, 47, 49, 51.

Допустим, A уже выбрано. Тогда числа с первого по четвертое надо выбирать так: A - 8, A - 6, A - 4, A - 2.

(S - 8A) / 9 = (A-8 + A-6 + A-4 + A-2 + 45 + 47 + 49 + 51 - 8A) / 9 = (172 - 4A) / 9

Получили линейную функцию с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, искомая разность убывает с ростом A, и максимум достигается при наименьшем возможном A (т. е., как не сложно понять, при A = 9)

Итак, наибольшее значение B-A достигается при выборе 1, 3, 5, 7, 9, 45, 47, 49, 51 (тогда разность равна 24 1/9 - 9 = 15 1/9)

а) В обозначениях пункта в) должно выполняться S - 8A = 5, что невозможно, поскольку S - четное число как сумма четного числа нечетных слагаемых, тогда левая часть равенства обязана быть четной.

б) Да, например, если выбраны 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21.

Ответ. а) нет; б) да; в) 15 1/9.