Не выполняя деления многочленов, найти остаток от деления многочлена P (x) yна многочлен Q (x) : P (x) =

Так. Сначала теорию. Любой многочлен, имеющий корни, можно разложить на произведение вида (x-x1) (x-x2) ...

где x1, x2 - корни.

Тогда если многочлен P (x) делится на разность (x-a), то P (a) = 0.

Если не делится, то

P (x) = (x-a) T (x) + R (x)

P (a) = (a-a) T (x) + R (x) = R (x)

Тогда остаток от деления многочлен P (x) на (x-a) равен P (a). (этого добились простой алгеброй)

Решение:

Q (x) = (x-2) (x+2)

остаток деления должен быть степени ниже, чем Q (x).

Пусть R = kx + b.

Тогда остатки от деления P на x-2, на x+2 равны остаткам от деления P на Q, при x = 2, - 2 соответственно.

Док-во:

Рассмотрим остаток деления P на Q:

P (x) = T (x) * Q (x) + R (x)

при x = 2:

P (2) = T (2) * 0 + R (2) - > R (2) = k*2+b = P (2) = остаток от деления P на (x-2)

P (-2) = T (-2) * 0 + R (-2) - > R (-2) = k * (-2) + b = P (-2) = остаток от деления P на (x+2)

Следовательно остатки от деления P на (x-2), (x+2) принадлежат R (x)

Найдем R (x) :

Тогда P (2) = 8, R (2) = 8

P (-2) = - 76

k*2+b=8

k * (-2) + b=-76

k = (8-b) / 2

(8-b) / 2 * (-2) + b = - 76

b-8+b=-76 = > 2b=-68 = > b = - 34 = > k = 21

R (x) = 21x-34