При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: (8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) ≤a?

(8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) < = a

(8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) - a < = 0

(8x^2-20x+16 - a * (4x^2+10x+7)) / (4x^2+10x+7) < = 0

((8-4a) * x^2 - (20+10a) * x + (16-7a)) / (4x^2+10x+7) < = 0

Разложим на множители Знаменатель

4x^2+10x+7 = 0

D = 10^2 - 4*4*7 = 100 - 112 = - 12 < 0

Корней нет, знаменатель всегда положителен.

Значит, числитель должен быть не положителен при любом x

(8-4a) * x^2 - (20+10a) * x + (16-7a) < = 0

(8-4a) * x^2 - 2 (10+5a) * x + (16-7a) < = 0

Если квадратный трехчлен не принимает значений > 0 ни при каком x,

значит, у него коэффициент при x^2 должен быть отрицательным

8 - 4a 2

А дискриминант должен быть D = 0, потому что неравенство имеет 1 корень.

Если бы оно имело 2 корня, то на каком-то отрезке было бы > 0.

А если бы оно не имело корней, то было бы везде строго < 0.

Находим дискриминант

D/4 = (10+5a) ^2 - (8-4a) (16-7a) = 100+100a+25a^2-128+64a+56a-28a^2 =

= - 3a^2 + 220a - 28 = 0

Решаем это новое условие

D/4 = 110^2 - (-3) (-28) = 12100 - 84 = 12016

a1 = (-110-√12016) / (-3) = (110+√12016) / 3 ~ (110+109,62) / 3 ~ 73,2 > 2

a2 = (-110 + √12016) / (-3) ~ 0,13 < 2 - не подходит.

Ответ: a = (110+√12016) / 3