Вася записал в тетрадь целые числа $$x, y, z$$. А Петя в свою тетрадь записал числа $$x-3, y+3, z^2$$. Оказалось, что три числа, записанные Васей, совпали с тремя числами, записанными Петей. Найдите значение выражения $$x^2+y^2+z^2$$, если $$x+y+z=454$$.

Ответить

Ясно, что x-3 не может равняться x, и y+3 не может равняться y.

Нужно решить три системы:

1)

{ x=y+3

{ y=z^2

{ z=x-3

{ x+y+z=454

Из 1 и 3 уравнения получаем

z=x-3=y+3-3=y

Из 2 уравнения

y=z^2=z=0 или 1; тогда x=3 или 4.

Но тогда x+y+z=454 не может быть.

2)

{ x=z^2

{ y=x-3

{ z=y+3

{ x+y+z=454

Из 2 и 3 уравнений

z=y+3=x-3+3=x

Из 1 уравнения

x=z^2=z=0 или 1; тогда y=-3 или - 2.

Опять x+y+z=454 не может быть.

3)

{ x=y+3

{ y=x-3

{ z=z^2

{ x+y+z=454

Эта система единственная решаемая.

z=z^2 только если z=0 или 1.

Первые два уравнения одинаковы: x-y=3

x+x-3+z=454

2x+z=457

Учитывая, что числа целые, получаем, что z может равняться только 1.

2x=457-1=456

x=456/2=228; y=x-3=225; z=1

x^2+y^2+z^2=228^2+225^2+1^2=102610

Ответ 102610