Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью v1 = 12 км/ч. Далее половину оставшегося времени движения он ехал со скоростью v2 = 6 км/ч, а затем до конца шел пешком со скоростью v3 = 4 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста на всем пути.

P. s. Ответ должен быть ровно 7! Никаких дробных чисел быть не может. Задание из ЕГЭ.

Дано:

v₁ = 12 км/час (скорость половины пути)

v₂ = 6 км/час (ск. первой половины ост. времени)

v₃ = 4 км/час (ск. второй половины ост. времени)

Найти:vср.

Решение.

vср. = S/t (всему расстоянию, деленному на все время движения)

S = 2 (S/2) (половина пути со одной скоростью 12 км/час и половина со скоростями 6 и 4 км/час)

t = t₁ + 2t₂ (время первой половины пути t₁ и два равных отрезка времени t₂ второй половины пути)

t₁ = (S/2) / v₁ = (S/2) / 12 = S/24

Во второй половине пути:

S/2 = t₂v₂ + t₂v₃ = t₂ (v₂ + v₃) = t₂ (v₂+v₃) = t₂ (6+4) = 10t₂

откуда t₂ = S/20

t = S/24 + 2S/20 = (2S+12S) / 120 = 17S/120

vср = S / (17S/120) = 120/17≈ 7 (км/час)

Ответ: 7 км/час

Примечание. можно не вычислять дроби со скоростями, а решать в общем виде, а затем их подставить:

vср. = S/t

t = t₁ + 2t₂

t₁ = S/2v₁

из S/2 = t₂ (v₂+v₃) следует:

t₂ = S/2 (v₂+v₃)

t = S/2v₁ + S / (v₂+v₃) = S (v₂+v₃+2v₁) / 2v₁ (v₂+v₃)

vср. = 2v₁ (v₂+v₃) / (2v₁+v₂+v₃) = 2*12 (6+4) / (2*12+6+4) = 120/17 ≈ 7 км/час