На полянке сидели 12 гномов: некоторые из них честные, то есть всегда говорят правду, а остальные всегда лгут."здесь нет ни одного честного гнома"-сказал первый."Здесь не более одного честного гнома "-сказал второй. Третий сказал, что честных не более двух, четвертый-что не более трех и так далее до двенадцатого, который сказал, что честных в этой комнате не более одиннадцати. Сколько честных гномов сидело на полянке на самом деле?

Обратим внимание, что фраза "не более n" означает n или меньше.

Первый явно соврал. Если бы он сказал правду, то получилось бы, что он нечестный, но сказал правду, а этого не может быть.

Если честных n, то это гномы, начиная от (n+1) - го, который сказал "Честных не более n" и все остальные после него, назвавшие еще большие числа.

Поэтому честных гномов ровно 6, и это гномы 7,8,9,10,11,12.

Если честных гномов 5, то уже 6-ой сказал правду "не более 5", но тогда и все после него сказали правду, и их будет не 5, а 7.

Если честных 7, то только 8-ой сказал правду "не более 7", и все после него, то есть всего 5, а не 7.

Только при n = 6 всё сходится.

Эту логическую задачу можно разрешить двумя способами:

1) Первый способ заключается в последовательном предположении о количестве честных и нечестных гномов и последующей проверке логикой каждого нашего предположения; для начала допустим, что все двенадцать гномов лгуны, проверяем логику - первый гном, заявив "здесь нет ни одного честного гнома", сказал правду, значит, не выполняется наше первоначальное "все двенадцать лгуны"; для варианта "один гном честен" логика опять нарушена, ведь тогда выходит, что 2-ой, 3-ий, 4-ый и далее до 12-го гнома сказали правду, а мы предположили, что такой только один. Нетрудно убедиться, что применяя такой же алгоритм далее (последовательно предполагая, что 2-е, 3-е, 4-ро, 5-ро, 6-ро, 7-ро, 8-ро, 9-ро, 10-ро, 11-ро, 12-ро гномов говорят правду) мы почти во всех случаях получим сбой логики, исключение же составит только случай, когда правдивых гномов шестеро, ведь именно для этого варианта логика соблюдается: только седьмой, восьмой, девятый и далее до двенадцатого гномов не грешат против правды. Таким образом мы приходим к выводу, что на самом деле на полянке собралось шестеро честных и шестеро нечестных гномов.

2) Второй способ весьма близок к "эвристическому методу" - мы допускаем (помня про 50-ти процентную вероятность выпадения "орла" и "решки" при бросании монеты), что первые шесть гномов врут, а оставшиеся шесть - говорят правду. Проверяя такое предположение, приходим к выводу: если бы врущих было пять или меньше пяти, то правду сказали бы по крайней мере семь гномов - с шестого по двенадцатый, что не отвечает логике, а если бы говорящих правду гномов было семь или больше, то тогда выходит, что первые семь гномов солгали, то есть лжецов по крайней мере семь, но два раза по семь больше двенадцати, следовательно, наше первичное предположение - верно.