В ряд выложены 2013 черных и 2013 красных шаров, причём самый левый и самый правый шары чёрные. Всегда ли можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, чтобы среди них количество красных равнялось количеству чёрных?

Пусть f (k) - разность между количеством красных и черных шаров среди первых k левых шаров. Тогда f (1) = 0-1=-1, т. к. первый шар черный и f (2013+2012) = 2013-2012=1 т. к. последний шар тоже черный. Т. к. f (k+1) = f (k) ±1, то f (k) пробегает все целые значения между любыми двумя своими значениями, а значит при каком-то k функция f (k) примет значение 0 (т. к. при первом и предпоследнем k она имеет значения разных знаков: - 1 и 1). А это и значит, что при каком-то k количество красных и черных будет одинаковым.

P. S. Можно сказать, что здесь мы применили дискретный аналог теоремы о том, что непрерывная функция имеет корень на интервале, если на его концах у функции разные знаки.