Докажите, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третей стороны.

Берем произвольный треугольник, выбираем основание, высота к которому будет лежать внутри треугольника, и строим эту высоту. Очевидно, что в этом случае мы разделили исходный произвольный треугольник на два прямоугольных. При чем длина двух каждой из двух боковых сторон будет тем больше, чем меньший угол она составляет с основанием, т. к. длина стороны обратно пропорциональна косинусу этого угла. А косинус растет по мере приближения к нулю. В пределе мы получаем ситуацию, когда две стороны треугольника, как бы складываясь, совпадают с основанием. В этом случае, треугольник вырождается в прямую, но если помнить, что на самом деле это две прямых наложенных друг на друга, одна из которых длиной, как две другие стороны, то видно, что мы доказали исходное утверждение.