Из чисел 1,2,3, ...,1799 выбран набор из 1200 попарно различных чисел. Какое наибольшее количество пар (a, b) таких, что a делится на b, всегда можно из них составить (найденные пары могут иметь общее число) ?

Ответ: 300.

Оценка.

Рассмотрим наибольший нечётный делитель каждого числа. Всего возможных делителей 1800/2 = 900, выбрано 1200 чисел, значит, есть не меньше 300 пар чисел, у которых наибольшие нечётные делители совпадают. Если у двух чисел этот делитель равен d, то числа равны 2^n * d, 2^m * d, и то число, у которого степень двойки меньше, делит то, у которого она больше, и из них можно составить пару.

Пример.

Из чисел 600, 601, ..., 1799 можно составить 300 пар: (600, 1200), (601, 1202), ..., (899, 1798).