Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и сигма в квадрате. Найти: а) параметр сигма в квадрате если известно, что математическое ожидание М (Х) - 5 и вероятность Р (2 < X < 8) = 0,9973; б) вероятность Р (Х < 0).

А = Мат. ожидание = 5

s - сигма

P (A < x < B) = Ф ((B-а) / s) - Ф ((A-а) / s)

Ф (x) - Интегральная функция Лапласа

P (2 < x < 8) = Ф ((8-5) / s) - Ф ((2-5) / s) = Ф (3/s) - Ф (-3/s), т. к. Ф (x) нечетная, то получим: Ф (3/s) + Ф (3/s) = 2 Ф (3/s) = 0.9973

Ф (3/s) = 0.9973/2 = 0.4987

По таблице интегральной функции Лапласа найдем соответствующее значение аргумента = 3.

Следовательно s = 3/3 = 1 (Очевидно, исходя из правила трех сигма)

P (x < 0) = P (-беск < x < 0) = Ф ((0-5) / 1) - Ф (- беск) = Ф (-5) + Ф (беск)

Ф (беск) = 1/2

Ф (-5) = 0.4999997

P (x < 0) = 1/2 - 0.4999997 = 0.0000003