Докажите, что к концу 13 века Византия окончательно утратила свое могущество

Можно даже сказать, что не концу, а к началу 13 века. Уже в 1204 году крестоносцами был захвачен Константинополь. Была провозглашена Латинская империя. Кроме того на территориях бывшей Византии образовались Никейская империя, Эпирское царство, Трапезудская империя - государства, образованные уже византийцами.

В 1261 году Михаил Полеолог освободил Константинополь и реставрировал империю. Но фактически это уже была не прежняя Ромейская империя, а небольшое и не слишком богатое греческое царство. Тем не менее, государство до 1453 года просуществовало, пока не было взято Османами.