Что роднило английскую церковь с лютеранской, а что с католической

Лютеране и англикане - это протестанты. Протестантизм в своё время откололся от католичества. Если слово "роднило" понимать, как поиск некой общей для них черты, то общее у них то, что "церковное начальство" и в Англии и в Германии пришло к выводу, что незачем деньги отсылать в Рим - вот и были затеяны реформы, в результате которых были образованы названые Вами церкви.