Почему аквариу нельзя заполнять быстро охлажденной прокипяченной водой (она должна постоять несколько дней)

Потому что свежекипяченная вода не содержит растворенного кислорода необходимого для дыхания рыб. При нагревании воды растворимость газов (в частности кислорода) уменьшается, вот эти газы и выделяются из нее при кипячении. Поэтому, чтобы снова стать пригодной для дыхания, кипяченная вода должна постоять некоторое время на воздухе и растворить кислород (при этом, растворяется также и азот воздуха).