В прямоугольную трапецию с основаниями a и b вписана окружность. Найти радиус окружности.

Что-то я засомневался и попробовал сам всё это получить.

Наклонная боковая сторона обозначена с, перпендикулярная основаниям - h;

Два очевидных соотношения.

c + h = a + b; (ну, раз можно вписать окружность)

c^2 - h^2 = (a - b) ^2; (ну, если и это надо объяснять, то можно ничего не писать)

Делим второе на первое

с - h = (a - b) ^2 / (a + b) ;

Теперь это вычитаем из первого соотношения.

2*h = (a + b) - (a - b) ^2 / (a + b) ; (что-то я уже про корень сомневаюсь).

h = 2*a*b / (a + b) ; r = h/2 = a*b / (a + b) ;

А теперь - и не сомневаюсь, нет тут ни какого корня. А вот другая находка, и очень красивая - площадь такой (то есть прямоугольной, в которую можно вписать окружность) трапеции равна a*b

Важно так же и вот что - в пределе b - > 0 r не "превращается" в радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника - это совершенно разные вещи.