Медиана AM и биссектриса BD прямоугольного треугольника ABC (угол C=90) пересекаются в точке О, BO=9, OD=5. Найти катеты и расстояние от точки О до гипотенузы AB.

Опустим из точки O перпендикуляры OK и OL на катеты BC и AC. Из подобия треугольников следует, что DL:LC=5:9; положим DL=5y, LC=9y. Далее, полагая BM=MC=7x и используя тот факт, что BK:KC=9:5, приходим к равенствам MK=2x, KC=5x. Теоема Пифагора, применённая к треугольнику BCD, влечёт равенство x2 + y2 = 1. При этом тангенс угла DBC будет равен y/x, а потому тангенс удвоенного угла ABC равняется 2 yx 1 - y2 x2 = 2xy x2 - y2. Теперь рассмотрим подобные треугольники OMK и AMC, откуда отношение OK:AC равно MK:MC=2:7. Ввиду того, что OK=LC=9y, находим AC=63y/2. Это значит, что тангенс угла ABC равен AC:BC = 9y 4x. Приравнивая два выражения для тангенса одного и того же угла, мы после упрощений приходим к уравнению x2 = 9 y2, после чего x и y легко находятся. Расстояние от O до гипотенузы равно расстоянию от O до катета BC, что составляет OK=LC=9y.