Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13/4, один из катетов равен а. Найти другой катет и площадь треугольника.

В прямоугольном треугольнике

R = c/2 r = (a + b - c) / 2

R + r = (a + b) / 2

Тогда (a + b) / c = (R + r) / R = 17/13

Пусть гипотенуза треугольника равна С, а один из катетов равен Х.

Тогда второй катет равен 17/13 * C - Х. Согласно теореме Пифагора

Х² + (17/13 * C - X) ² = C²

X² + 289/169 * C² - 34/13 * C * X + X² = C²

X² - 17/13 * C * X + 60/169 = 0

X₁ = 5/13 * C X₂ = 12/13 * C

Следовательно, если больший катет равен а, то меньший катет равен а/2,4 = 5*a/12, а площадь треугольника S = a * (5*a/12) / 2 = 5 * a² / 24.

Если же меньший катет равен а, то больший катет равен a * 12/5 = 2,4 * a а площадь треугольника S = a * 2,4 * a / 2 = 1,2 * a².