Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса 2 корень из 3 м

Обозначим радиус шара R, радиус цилиндра r, высоту цилиндра h, объем цилиндра V.

R=2√3

радиус цилиндра является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - радиус шара, а второй катет половина высоты цилиндра, отсюда:

r²=R²-¼h²=12-¼h²

V=πr²h=πh (12-¼h²) = π (12h-¼h³)

Очевидно, что минимальный объем будет при h=0, а чтобы найти максимальный, возьмем производную от функции объема по h и приравняем нулю.

V'=π (12-¾h²)

π (12-¾h²) = 0

12=¾h²

16=h²

h=4