В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен

варианты ответов

6

18

24

32

В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен

Vшар = 4pi*R^3/3

32/3 = 4piR^3/3

4piR^3=32

R = (8/pi) ^ (1/3)

теперь найдем длину стороны через формулу R=√3a/6

(8/pi) ^ (1/3) = √3/6 * a

a = 12/pi^ (1/3) * √3

теперь радиус самого конуса будет равен

половине стороны!

значит он равен

R = 6/pi^ (1/3) * √3

H=√3/2 * a = 6/pi^ (1/3)

теперь все ставим в формулу V = piR^2/3 = 12 / pi^ (2/3) * pi*6/pi^ (1/3) / 3 = 72/3 = 24

Формула объема шара

V шара=4 πr³:3

4 πr³:3=32:3 ⇒

πr³=8

Формула объема конуса

Vкон=πR²H:3

Так как диаметральное сечение (окружность) шара вписано в правильный треугольник, его радиус rравен 1/3 высоты этого треугольника и равен 1/3 высоты конуса.

⇒Н=3r

Радиус основания конуса равен 1/2 стороны этого треугольника, которая является диаметром конуса.

Сторону треугольника (осевого сечения конуса) найдем по синусу угла при основании:

а=Н:sin (60°) = 3r*2:√3=2r√3

Радиус R основания конуса равен половине стороны треугольника - осевого сечения конуса.

R=r√3

Подставим значение R и Н, выраженное через r, в формулу объема конуса

Vкон=πR²H:3

Vкон=π (r√3) ²3r:3=3πr²*3r:3=3πr³

Из вычислений, сделанных ранее, найдено, что

πr³=8

Vкон=3*8=24