Точка находится на расстоянии 10 см от всех вершин равностороннего треугольника со стороной 6√3 см. Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Если точка удалена на одно и то же расстояние от всех вершин, то она принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через точку пересечения его серединных перпендикуляров (в нашем случае серед. перпендикуляры совпадают с высотами).

Пусть (.) K - точка, о которой идет речь в условии,

(.) N - точка пересечения высот треугольника (ортоцентр).

Рассмотрим прямоугольный тр. ΔKNB, в котором угол при вершине N прямой. NB - 2/3 h - высоты тр. ΔABC. KB - данное нам расстояние - 10 см.

Найдем высоту: h = a√3 / 2 = 6/2 * √3² = 3*3 = 9

Тогда 2/3 h = 6.

А значит, расстояние от точки до плоскости тр.:

KN² = 10² - 6² = 64 = 8²

KN = 8.

Ответ: расстояние от точки до плоскости треугольника равно 8 см