Найти сумму всех внутренних углов правильного многоугольника, число диагоналей которого в 3 раза больше, чем число сторон.

Выясним, о каком многоугольнике речь.

Из каждой вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали во все вершины, кроме 2-х смежных и самой себя, т. е. n-3 диагонали.

Однако, любая диагональ из А в С есть одновременно и диагональ из С в А. Поэтому, у выпуклого n-угольника число диагоналей d=n· (n-3) / 2.

В то же время, по условиям задачи, у нашего многоугольника d=3n.

Решаем уравнение: 3n=n · (n-3) / 2; 6n=n²-3n; 9n=n²; n=9

Таким образом, речь идет о 9-угольнике.

Поскольку правильный n-угольник можно представить, как n смыкающихся треугольников с общей вершиной, сумма всех внутренних углов правильного n-угольника равна n·180°-360°.

В данном случае, для 9-угольника: 9· 180°-360°=1260 °

N-число сторон

(n²-3n) 2-число диагоналей

(n²-3n) / 2=3n

n²-3n=6n

n²-9n=0

n (n-9) = 0

n=0 не удов усл

n=9

180 * (n-2) - сумма внутренних углов

180 * (9-2) = 180*7=1260