К двум окружностям центров О и Oi, касающимся извне в точке А, проведена общая внешняя касательная ВС (В и С - точки касания) ; доказать, что угол ВАС есть прямой

проводим через точку А общую касательную АК (не важно, как далеко К, пусть она на ВС, для ясности). Нм надо найти сумму углов ОАК и О1 АК.

Угол ВАК измеряется половиной дуги АВ окружности с центром О, а угол САК измеряется половиной дуги АС окружности с центром О1 - это углы между касательной АК и секущими АВ и АС (в разных окружностях, конечно).

Центральные углы этих дуг (углы ВОА и СО1 А) - это не прямые углы при основаниях в прямоугольной трапеции ОО1 СВ. Поэтому сумма их равна 180 градусам (ну, как там это называется, внутренние односторонние углы при параллельных, вроде, ясно, что ОВ II О1 С).

Поэтому сумма углов ВАК и САК = 180/2 = 90. чтд.