В прямоугольном треугольнике найдите отношение меньшего катета к большему, если радиусы вписанной и описанной окружностей относятся как 4:13

Давай с чертежом разберёмся. Цент вписанной в треугольник окружности - это пересечение биссектрис, а центр описанной окружности - это середина гипотенузы (90 градусов - это вписанный угол и измеряется половиной дуги, на которую опирается, значит опирается на диаметр окружности)

теперь разбираемся с отношением r:R = 4:13

4:13 - это части, которые приходятся на r и R. Одну часть примем за х, тогда r = 4x и R = 13x. Тогда гипотенуза = 26 х

Теперь считаем, что у нас есть 3 данных: r, R и гипотенуза АС (АС - диаметр описанной окружности)

Теперь разбираемся с точками касания вписанной окружности и треугольника. Давай с буквами разберёмся.ΔАВС, АС - гипотенуза, АВ и ВС - катеты. На АВ точка касания М, на ВС точка касания N, на АС точка касания К. Рассматриваем отрезки касательных. ВМ = ВN = r = 4x, АМ = АК = y,

NС = КС = 26x - y

теперь выразим катеты: АВ = 4 х + у, ВС = 4 х + 26 х - у = 30 х - у.

Теперь пишем т. Пифагора:

(4 х + у) ² + (30 х - у) ² = (26 у) ²

Упрощаем

у² - 26 у + 120 х² = 0

Решаем относительно у

у = 13 х + - √ (169 х² - 120 х²) = 13 х + - 7 х

у1 = 20 х у2 = 6 х

а) у1 = 20 х

АВ = 4 х + у = 24 х

ВС = 30 х - у = 10 х

Теперь ищем отношение катетов: ВС: АВ = 10 х: 24 х = 5:12

б) у2 = 6 х

АВ = 4 х + у = 10 х

ВС = 30 х - у = 24 х

Ищем отношение катетов: АВ: ВС=10 х: 24 Х = 5:12