7. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.

Question

Геометрия

Феня

19 мая, 00:33

7. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.

+4

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Кузьминична · Answer 1

Впрямоугольном треугольнике один острый угол В=30 градусам, значит второй острый угол А = 180 - (90+30) = 60 град.

В тр. АМС угол АМС=60 гр., но и угол МАС (или угол А тр. АВС) = 60 гр., третий угол МСА = 180-2*60=60 гр. У нас получился равносторонний треугольникАМС. Но в тр. АВС катет, лежащий против угла в 30 гр. равен половине гипотенузы, т. е. СА=1/2 АВ.

Поэтому в тр. МСА все стороны равны 1/2 АВ.

Рассмотрим тр. СВМ. Угол В=30 гр., угол ВСМ=90-60=30 гр., угол ВМС = 180-30*2=120 гр.

Треугольник СВМ - равнобедренный, т. к. углы при основании равны. Поэтому-стороны ВМ=МС.=1/2 АВ. Значит отрезок СМ делит гипотенузу пополам, т. е. является медианой треугольника АВС.