теорема о свойстве биссектрисы угла (доказательство)

Теорема - свойство биссектрисы треугольника.

Если AA1 - биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC, то

ВА*/А*С = ВА / АС.

Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.

Доказательство. Проведем через B прямую, параллельную AC, и обозначим через D точку пересечения этой прямой с продолжением AA1.

Согласно свойству параллельных прямых имеем Ð BDA = Ð CAD. Так как AA1 - биссектриса, то Ð CAD = Ð DAB. Итак, Ð BDA = Ð DAB, потому BD = BA.

Из подобия треугольников CAA1 и BDA1 (по второму признаку Ð BDA1 = Ð CAA1, Ð BA1 D = Ð CA1A) получаем ВА*/А*С = ВD/АС = ВА/АС, что и требовалось доказать.

Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через B прямую, параллельную биссектрисе AA1, до пересечения в точке E с продолжением CA. Тогда EA = AB и СА / АЕ = СА/АВ.