В треугольнике АВС со сторонами АВ=5 см, ВС=8 см, АС=9 см вписан окружность, касающая стороны Ас к точке К. Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы ВМ.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения О биссектрис этого треугольника.

Касательная АС к окружности перпендикулярна к радиусу ОК, проведенному в точку касания К.

Полупериметр ΔАВС р = (АВ+ВС+АС) / 2 = (5+8+9) / 2=11

Площадь по ф. Герона S=√11 (11-5) (11-8) (11-9) = 6√11

Высота АВС ВН=2S/AC=2*6√11/9=4√11/3

Из прямоугольного ΔАВН АН=√АВ²-ВН²=√ (25-176/9) = √49/9=7/3

Расстояние от К до прямой ВМ - это перпендикуляр ОК.

Значит прямоугольные ΔВНМ и ОКМ подобны по 2 углам (угол М - общий, углы ВНМ и ОКМ - прямые)

ВН/ОК=НМ/КМ

КМ=ОК*НМ/ВН

Радиус ОК=S/p=6√11/11=6/√11

По свойству биссектрисы АВ/АМ=ВС/МС

АМ=АВ*МС/ВС=5 МС/8

АС=АМ+МС=5 МС/8+МС=13 МС/8

МС=8 АС/13=8*9/13=72/13

АС=АН+НМ+МС=7/3+НМ+72/13=307/39+НМ

НМ=9-307/39=44/39

Итого КМ=6/√11*44/39 / 4√11/3=6/13