Стороны правильного треугольника равны 12 см. Точка D, лежащая вне плоскости треугольника, соединена с вершинами треугольника. Все наклонные образуют с плоскостью угол, равный 45˚. Найдите расстояние от точки D до вершин треугольника

DA=DB=DC.

Равные наклонные имеют равные проекции.

Пусть О - проекция точки D.

ОА=ОВ=ОС.

Значит О - центр описанной окружности.

ОА=ОВ=ОС=R

Радиус окружности, описанной около треугольника, находится по формуле

R=abc/4S

a=b=c=12

S=a·a·sin60°/2=a²√3/4

R=a√3/3=12√3/3=4√3 см

∠DAO=∠DBO=∠DCO=45°

Треугольник DАО - прямоугольный равнобедренный

АО=DO=4√3

По теореме Пифагора

DA=4√6.

О т в е т. 4√6 см