Даны точки A (3; 6), B (2; 9), C (7; 8) и D (8; 5). Докажите, что отрезки AC и BD пересекаются и точки пересечения делятся пополам.

Найдём уравнение прямой АС. Для этого запишем уравнение прямой в общем виде: y = kx+b и подставим два раза координаты имеющихся точек:

6 = k*3+b

8 = k*7+b

Вычтя из второго уравнения первое, получим:

2 = 4*k

k = 0,5, подставив это, допустим, во второе, найдём b:

b = 8 - 7*0,5 = 4,5

Значит уравнение прямой АС: y = 0,5*x+4,5.

Повторим эти действия для отрезка BD:

9 = 2*k+b

5 = 8*k+b

-4 = 6*k

k = - 2/3

b = 9 - 2 * (-2/3) = 10 1/3

Уравнение BD: y = - 2/3*x + 10 1/3.

Составляем систему из обоих получившихся уравнений. Если система имеет решение - значит отрезки пересекаются (строго говоря, пересекаются содержащие их прямые, но если эта точка будет внутри отрезков, то и отрезки) :

y = 0,5*x+4,5.

y = - 2/3*x + 10 1/3

Вычитаем из первого второе:

0 = 7/6*x - 5 5/6

x = (5 5/6) * 6/7 = 35/6 * 6/7 = 5

Подставляем в первое, находим y: y = 0,5*5+4,5 = 7

Итак, мы получили координаты точки пересечения: (5; 7). Теперь убедимся, что она лежит в середине обоих отрезков. Для этого сравним разности абсцисс и ординат этой точки и концов отрезков:

5-3=7-5

7-6=8-7

Отрезок АС проверен, продолжаем для BD:

5-2=8-5

9-7=7-5

Все равенства выполняются, а значит точка действительно является серединой обоих отрезков.

Спрашивайте, если что непонятно.