На параболе y^2 = 10x найти точку, расстояние от которой до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как 8:7.

Каноническое уравнение параболы y^2=2px

Фокус параболы F (p/2,0), тогда F (5/2,0)

Вершина параболы О (0,0)

Пусть М (х, у) - искомая точка.

Расстояние от нее до начала координат : √ (x²+y²)

Расстояние до фокуса:√ ((x-5/2) ²+y²).

Эти расстояния относятся как 8:7, а квадраты расстояний как 64:49.

49 (x^²+y²) = 64 ((x-5/2) ²+y²).

М принадлежит параболе и значит y^2=10x

49 (x²+10 х) = 64 ((x-5/2) ²+10 х)

49 х²+490 х=64 х²-320 х+400+640 х

15 х²-170 х+400=0

3 х²-34 х+80=0

D=1156-960=196

x1 = (34-14) / 6=10/3⇒y²=100/3⇒y1=-10√3/3 U y2=10√3/3

x2 = (34+14) / 6=8⇒y³=80⇒y3=-4√5 U y4=4√5

х=8 и х=10/3

Получается 4 точки: (10/3; -10√3/3) (10/3; 10√3/3) ; (8; -4√5) ; (8; 4√5)