Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 15 см. Расстояние от данной точки до сторон треугольника равны 5 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC: CB=15 см, AC=12 см. Точка M не лежит на (ABC) и находится в 5 сантиметрах от всех сторон треугольника. ОК-радиус вписанной окружности.

Найдём AB = sqrt (корень) CB^2-AC^2 = 9 (см)

Дальше решаем через формулу площади: S = p (полупериметр) * r (радиус - OK)

Для начала найдём полупериметр и площадь по формуле Герона:

p = (9+12+15) / 2 = 18 см

Sabc = sqrt p (p-a) (p-b) (b-c) = sqrt 18 * (18-9) (18-12) (18-15) = 54 см^2

Sabc=pr

54=18*OK

OK = 3 см

Треугольник MOK: MK=5 см, OK = 3 см, угол O=90 градусов

По т. Пифагора:

MO=sqrtMK^2-OK^2 = sqrt 25-9 = 4 см

Ответ: 4 см.