К окружности проведена касательная AB (B - точка касания). Прямая AM проходит через центр окружности и пересекает её в точках M и N. Найдите квадрат расстояния от точки B до прямой AN, если AM=1, AB = корень из 3

1) Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

Значит, AB² = AN * AM; AN = AB² / AM; AN = (√3) ²/1 = 3; MN - диаметр;

OB = OM = ON = R = (AN - AM) / 2; R = (3 - 1) / 2 = 1; AO = AM + OM; AO = 1+1 = 2.

2) △OBA - прямоугольный; BH - высота; ⟹ △OBH ≈ △OBA; △OBH ≈ △HBA.

Значит, OH/OB = OB/OA; OH = OB²/OA; OH = 1²/2 = 0,5; AH = OA - OH;

AH = 2 - 0,5 = 1,5 и OH/BH = BH/AH; BH² = OH * AH; BH² = 0,5 * 1,5 = 0,75.

Или:

2) △OBA - прямоугольный. Т. к. OB = 1/2AO, то ∠A = 30°. Значит ∠BOA = 60°.

OB = OM и ∠BOA = 60° ⟹ △OBM - равносторонний, BH - высота. h = a√3/2.

BH = OM*√3/2; BH = 1*√3/2; BH² = (√3/2) ² = 3/4 = 0,75.

Или:

2) △OBA - прямоугольный; BH - высота; S = OB*AB/2 и S = OA*BH/2.

Значит OB*AB = OA*BH; BH = OB*AB/OA; BH = 1*√3/2; BH² = (√3/2) ² = 3/4 = 0,75.