Прямые AB и AC-касательные к окружности с центром в точке O (B и C-точки касания). Выбирается произвольная точка X дуги BC. Через X проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N.

Доказать, что периметр треугольника AMN не зависит от выбора точки X

Касательные, проведенные к окружности из одной точки равны (по общей гипотенузе и равным катетам).

MX=MB как касательный к окружности, проведенный из точки M. NX=NC, как касательные проведенные к окружности из точки N.

Pamn = AM + MN + AN = AM + MX + NX + AN = AM + MB + AN + NC = AB + AC и не зависит от выбора точки X