Окружности с центрами О1 и О2 касаются в точке А внешним образом. Прямая проходящая через точку А вторично пересекает первую окружность в точке В, а вторую в точке С. Докажите, что прямая О2 С параллельна прямой О1 В и найдите площадь треугольника ВСО2, если известно, что радиуса первой и второй окружностей равны 5 и 8 соответственно, а угол АВО1=15°

Question

Геометрия

Зурия

8 октября, 21:50

Окружности с центрами О1 и О2 касаются в точке А внешним образом. Прямая проходящая через точку А вторично пересекает первую окружность в точке В, а вторую в точке С. Докажите, что прямая О2 С параллельна прямой О1 В и найдите площадь треугольника ВСО2, если известно, что радиуса первой и второй окружностей равны 5 и 8 соответственно, а угол АВО1=15°

+1

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Джевель · Answer 1

Точка A может быть точкой касания только в одном случае, если она лежит на прямой O1O2

Т. к. прямая пересекает точку A, то угол O1AB=O2AC.

Т. к треугольник AO1B - равнобедренный, то угол O1BA=O1AB.

Т. к треугольник AO2 С - равнобедренный, то угол O2CA=O2AC.

Т. к. при пересечении прямой BC прямых O1B и O2C углы O1BA и O2CA равны, то прямые O1B и O2C параллельны.

Найдем основание. AB в треугольнике AO1B

AB=2*5*cos15=10cos15

Т. к. угол ACO2=ABO1=15 найдем основание AC в треугольникн ACO2

AC=2*8*cos15=16cos15

Высота тругольников ACO2 и BCO2 будет общая и равна 8*sin15

S=1/2*8sin15 * (10cos15+16cos15) = 104*sin15*cos15=52*sin (2*15) = 52/2=26