Катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра вписанной в этот треугольник окружности до высоты проведённой к гипотенузе

Гипотенуза (по теореме Пифагора)

с² = 48² + 36² = 2304 + 1296 = 3600

с = 60

Площадь через катеты

S = 1/2*36*48 = 864

Полупериметр

p = 1/2 (36 + 48 + 60) = 72

Площадь через полупериметр и вписанную окружность

S = rp

864 = r*72

r = 12

---

Площадь через гипотенузу и высоту

S = 1/2*h*60 = 864

h = 144/5

---

Короткий отрезок гипотенузы, отсекаемый высотой, найдём по т. Пифагора

x² + h² = 36²

x² + (144/5) ² = 36²

x² + 20736/25 = 1296

x² = 11664/25

x = 108/5

---

Короткий отрезок гипотенузы y, отсекаемый биссектрисой прямого угла найдём из пропорциональности отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону прилежащим сторонам

y/36 = (60-y) / 48

4y = 180 - 3y

7y = 180

y = 180/7

Расстояние между точками пересечения с гипотенузой высоты и биссектрисы

z₂ = y - x = 180/7 - 108/5 = (180*5 - 108*7) / 35 = (900 - 756) / 35 = 144/35

В больном синем треугольнике не хватает гипотенузы

l₂² = (144/5) ² + (144/35) ²

l₂² = 144² * (1/5² + 1/35²) = 144² * (7²/35² + 1/35²) = 144²*50/35² = 144²*2/7²

l₂ = 144√2/7

Расстояние между вершиной прямого угла исходного треугольника и центром вписанной окружности (r=12)

l₁² = r² + r²

l₁² = 2r²

l₁² = 2*12²

l₁ = 12√2

Коэффициент подобия малого и большого синего треугольников

k = l₁/l₂ = 12√2 / (144√2/7) = 7/12

и из подобия короткий катет малого синего треугольника

k = z₁/z₂

7/12 = z₁ / (144/35)

z₁ = 12/5