Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Сторона ее основания - 8√3. Вычислить длину ребра, площадь поверхности и объём пирамиды.

Итак, сторона основания

a = 8√3 см

Высота

y = 6 см

Высота основания

ВФ = ВА*sin (60°) = a√3/2

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1 начиная от угла

поэтому

ВО/ОФ = 2/1

ВО = 2/3*ВФ = a/√3

ОФ = ВО/2 = а / (2√3)

---

Площадь основания

S₁ = 1/2*a²*sin (60°) = a²√3/4

---

Апофему ФХ найдём из треугольника ОФХ по т. Пифагора

ФХ² = ОХ² + ОФ²

ФХ² = h² + а² / (4*3) = h² + a²/12

ФХ = √ (h² + a²/12)

---

Площадь одной боковой грани

S₂ = 1/2*АС*ФХ = 1/2*a*√ (h² + a²/12)

Полная площадь

S = S₁ + 3S₂ = a²√3/4 + 3/2*a*√ (h² + a²/12)

Подставим значения

S = (8√3) ²√3/4 + 3/2*8√3*√ (6² + (8√3) ²/12)

S = 64*3√3/4 + 3*4√3*√ (36 + 64*3/12)

S = 16*3√3 + 12√3*√ (36 + 16)

S = 48√3 + 12√3*2√13

S = 48√3 + 24√39 см²

---

Боковое ребро найдём по т. Пифагора из треугольника ВОХ

ВХ² = ВО² + ОХ²

ВХ² = (a/√3) ² + h²

ВХ² = a²/3 + h²

BX = √ (a²/3 + h²)

Подставляем числа

BX = √ ((8√3) ²/3 + 6²) = √ (64+36) = √100 = 10 см

Это боковое ребро

---

Объём

V = 1/3*S₁*h

V = 1/3*a²√3/4*h = a²h / (4√3)

V = (8√3) ²6 / (4√3) = 192*√3/2 = 96√3 см³